Exercice arithmétique

Bonjour, 

voici un exercice dont la correction me pose problème :

Un supermarché reçoit une livraison de bouteilles. Si l'on compte les bouteilles par 3, 5 ou 7, il en reste toujours 2.
Sachant que le nombre de bouteilles livrées est compris entre 1 500 et 1 600, combien de bouteilles le supermarché a-t-il reçues ?

correction:

c'est ce 1575 qui me pose problème, pour moi il sort de nul part car on vient de démontrer que :
Quand le chiffre des unités est 0 , le chiffre des dizaines peut être 3, 6 ou 9. 
Quand le chiffre des unités est 5, le chiffre des dizaines peut être 1 ou 4. 
Je comprends qu'il vient du "on passe d'un nombre au suivant en ajoutant 15" mais je ne vois pas le lien avec la démonstration précédente 

donc aucun 7 au chiffre des dizaines ...

 

merci 

[edit] je crois que je viens de voir le problème, cela pourrait provenir que nos profs aient oublié le fait que 5+7=12 donc divisible par 3 

Il faut que ces nombres cumulent les propriétés des multiples de 5 ( chiffre des unités= 0 ou 5) et de 3 (somme des chiffres = multiple de 3), ce sont donc des multiples de 15; tu t'es un peu embrouillée avec les chiffres des unités qui est soit 0 soit 5, la correction n'est pas forcément expliquée de la manière la plus simple.
Donc entre 1500 et 1600: 1500+15, 1515+15, ...; il manque 1500, dans les possibilités au-dessus d'ailleurs, mais c'est pas grave, puisque un seul nombre est aussi multiple de 7 parmi ceux-ci

effectivement je n'avais même pas vu qu'il manquait la possibilité 1500
du coup 
- soit on passe par le tâtonnement avec le chiffre des dizaines et des unités 
- soit on part sur le fait que puisqu'il est multiple de 3 et de 5, alors il est multiple de 15 (dans ce cas il faut faire attention car c'est valable pour des nombres premiers mais par forcément pour des nombres qui ne sont pas premiers si je ne me trompe pas )

Moi j'aurais raisonné avec les multiples de 15, ça fait peu de possibilités.

Les nombres premiers, ça n'a rien à voir, ne t'embrouille pas. Si un nombre est un multiple d'un autre nombre, il n'est pas premier, sauf si les multiples sont 1 et lui même.

Ok, moi je faisais le lien avec cette remarque de mon cours, mais visiblement j'étais HS alors ^^ 

On peut utiliser ces critères de divisibilité pour obtenir plus rapidement certains résultats. Par exemple :
- Si un nombre est divisible par 2 et par 3 alors il est divisible par 6;
- Si un nombre est divisible par 3 et par 5 alors il est divisible par 15;
- Si un nombre est divisible par 5 et par 9 alors il est divisible par 45.
Ces 3 derniers critères sont vrais car 6, 15 ou 45 sont le produit de deux nombres premiers entre eux (cf 1.). 
Mais attention, cela n'est pas toujours vrai : si un nombre est divisible par 4 et 6, il n'est pas divisible par 24. Il suffit de prendre le nombre 12 qui est divisible par 4 et par 6 mais pas par 24.

1. En effet si un nombre b est divisible par 2 et par 3 alors on peut trouver deux nombres entiers n et m tels que b=2xn et b=3xm d'où 2xn=3xm.
Ainsi 2 divise 3xm mais comme 2 ne divise pas 3 alors 2 doit diviser le nombre m.
En conclusion, on peut donc trouver un entier p tel que m=2xp c’est-à-dire que b qui est égal à 3xm s'écrit b=3xm=3x(2xp)=6xp. On en déduit que b est divisible par 6.

bonjour

waouhhhhhh c'est le genre de truc qui m'embrouille !!

je vais reflechir aussi tiens...moi et les maths !! 

je viens de passer mon après midi entière sur l'arithmétique ... c'est pas de la tarte 

Jill a écrit:Ok, moi je faisais le lien avec cette remarque de mon cours, mais visiblement j'étais HS alors ^^ 

On peut utiliser ces critères de divisibilité pour obtenir plus rapidement certains résultats. Par exemple :
- Si un nombre est divisible par 2 et par 3 alors il est divisible par 6;
- Si un nombre est divisible par 3 et par 5 alors il est divisible par 15;
- Si un nombre est divisible par 5 et par 9 alors il est divisible par 45.
Ces 3 derniers critères sont vrais car 6, 15 ou 45 sont le produit de deux nombres premiers entre eux (cf 1.). 
Mais attention, cela n'est pas toujours vrai : si un nombre est divisible par 4 et 6, il n'est pas divisible par 24. Il suffit de prendre le nombre 12 qui est divisible par 4 et par 6 mais pas par 24.

1. En effet si un nombre b est divisible par 2 et par 3 alors on peut trouver deux nombres entiers n et m tels que b=2xn et b=3xm d'où 2xn=3xm.
Ainsi 2 divise 3xm mais comme 2 ne divise pas 3 alors 2 doit diviser le nombre m.
En conclusion, on peut donc trouver un entier p tel que m=2xp c’est-à-dire que b qui est égal à 3xm s'écrit b=3xm=3x(2xp)=6xp. On en déduit que b est divisible par 6.

Un nombre divisible par a et divisible par b est aussi divisible par ab si a et b sont premiers entre eux

c'est quand mm plus simple dit comme ça 

bonjour

j'y ai passé un temps et j'ai même pas trouvé !! 

hello 
hum trouvé la réponse de l'exercice que j'ai posé ? même avec la correction ?

Jill a écrit:Bonjour, 

voici un exercice dont la correction me pose problème :

Un supermarché reçoit une livraison de bouteilles. Si l'on compte les bouteilles par 3, 5 ou 7, il en reste toujours 2.
Sachant que le nombre de bouteilles livrées est compris entre 1 500 et 1 600, combien de bouteilles le supermarché a-t-il reçues ?

correction:

c'est ce 1575 qui me pose problème, pour moi il sort de nul part car on vient de démontrer que :
Quand le chiffre des unités est 0 , le chiffre des dizaines peut être 3, 6 ou 9. 
Quand le chiffre des unités est 5, le chiffre des dizaines peut être 1 ou 4. 
Je comprends qu'il vient du "on passe d'un nombre au suivant en ajoutant 15" mais je ne vois pas le lien avec la démonstration précédente 

donc aucun 7 au chiffre des dizaines ...

 

merci 

[edit] je crois que je viens de voir le problème, cela pourrait provenir que nos profs aient oublié le fait que 5+7=12 donc divisible par 3 

Ils ont oublié de mettre le 7. C'est en fait le chiffre des dizaines peut-être 1, 4 ou 7 car la somme des chiffres du nombre ainsi obtenue est un multiple de 3.

oui j'ai envoyé un mail à ma prof qui m'a confirmé qu'il y avait parfois des coquilles dans les corrections et comme disait Antoine, ils ont également oublié 1500 dans les propositions ...

Jill a écrit:hello 
hum trouvé la réponse de l'exercice que j'ai posé ? même avec la correction ?

bonjour

oui ...cas désesperé...

si tu veux tu peux me dire où tu bloques :) on peut peut-être t'aider  
sinon je peux mettre d'autres exercices qui jouent sur les critères de divisibilité, pour t'entrainer d'abord dessus

voilà un autre exercice qui me pose problème :



Ba oui tient pourquoi on n'a pas besoin de les barrer ?  

Ma première réponse serait la suivante : parce qu'ils sont également les multiples des chiffres de 1 à 11 par 11 (cad : 1x11, 2x11, 3x11 ...) , donc déjà barrés ? et idem pour 13, 17 ...
Mais étant donné que 11 13 et 17 sont des nombres premiers je pense qu'il doit y avoir un rapport avec ça ...

vouala 

les nombres 11,13 et 17 sont des nombres premiers càd un entier naturel positif qui ne possèdent que 2 diviseurs 1 et lui-même. Ils ne possèdent pas de multiples.
11 n'est divisible que par 1 et 11 ...13 par 1 et 13...etc

J'aurai répondu ça

Parce qu'ils ne sont pas multiples de 2,3, ou 7, les nombres premiers que l'on trouve avant eux ... Par conséquent, ils sont eux meme des nombres premiers...

Ils faut faire attention à la formulation dans vos réponses:
Jill, tu écris: "ils sont également les multiples des chiffres de 1 à 11 par 11 (cad : 1x11, 2x11, 3x11 ...)" mais non, 11 n'est pas un multiple de 1, 2 ou n'importe quel nombre compris entre 1 et 10 car il n'est divisible par aucun d'entre eux .... Par contre, les résultats des produits que tu cites (1*11, 2*11, 3*11 ...) sont des multiples de 11 (et non l'inverse , 11 n'est pas leur multiple, mais leur diviseur)

je me suis peut être mal exprimée :) je voulais bien parler des multiples de 11, 13, 17.
D'ailleurs ce sont d'eux dont on parle dans la question et pas de 11 en lui même (Pourquoi n'a t-on pas besoin de barrer les multiples de 11, 13 et 17) . Il me semble que dans vos réponses vous ne parlez que de 11, 13,17 et non pas de leurs multiples 

ou alors j'ai rien compris 

Je crois que je me suis embrouilé avec ta réponse et celle d'anna lol
Les multiples de 11 sont 22, egalement multiple de 2
                                 33, egalement multiple de 3
                                 44, egalement multiple de 2
                                 55, egalement multiple de 5
                                 66, egalement multiple de 2
                                 77, egalement multiple de 7
                                 88, egalement multiple de 2
                                 99, egalement multiple de 3
Ils ont donc tous déja été barrés auparavant!

Les multiples de 13 sont 26, egalement multiple de 2
                                 39, egalement multiple de 3
                                 52, egalement multiple de 2
                                 65, egalement multiple de 5
                                 78, egalement multiple de 2
                                 91, egalement multiple de 7
Ils ont egalement deja tous été barrés!

Les multiples de 17 sont 34, egalement multiple de 2
                                 51, egalement multiple de 3
                                 68, egalement multiple de 2
                                 85, egalement multiple de 5
Ils ont donc egalement tous été barrés !

Arrivés a 11, les nombres qui ne sont pas deja barrés sont donc tous des nombres premiers....

donc c'est ce à quoi je pensais mais mieux formulé 

Je m'entraine a mieux formulé, ca m'a fait perdre des points sur mon premier devoir de maths...On m'a dit de toujours tout écrire,meme si ca me semblait inutile car trop evident ...

Il me semble qu'il faut aussi prendre en compte le fait que racine de 100 = 10 et donc il n'est pas utile de barrer les multiples des nombres premiers au dessus de 10

et ca fait pus "scientifique" que ma méthode, ta répnse, Ninnie....

effectivement je pense que la réponse de Nininie est top