Exercice arithmétique

Les trois entiers a, b et c, non nuls sont rangés du plus petit au plus grand. Comme
ils expriment, dans une certaine unité de longueur, les mesures des longueurs des
trois côtés d’un triangle rectangle, on déduit que c correspond à l’hypoténuse et que
c2 = a2 + b2 (par le théorème de Pythagore).

Méthode 1 :
Un nombre est soit pair, soit impair. Prenons d’abord a :
Si a est pair, alors le problème est résolu. Supposons alors que a est impair.
Si b est pair, le problème est résolu.
Supposons alors que a et b sont tous deux impairs.
Tout nombre impair peut s'écrire sous la forme 2n+1, n étant un entier naturel
éventuellement nul (on peut dire aussi qu'un nombre impair a pour reste 1 dans la
division euclidienne par 2).
Il existe donc deux entiers i et j tels que a = 2i + 1 et b = 2j + 1
Or c2 = a2 + b2 donc c2 = (2i + 1)2 + (2j + 1)2
                                  = 4i2 + 4i + 1 + 4j2 + 4j + 1
                                  = 2(2i2 + 2i + 2j2 + 2j + 1)
c2 est donc un nombre pair (puisque égal au double du nombre entier
(2i2 + 2i + 2j2 + 2j + 1).

Il reste à prouver que si le carré d’un nombre entier est pair, alors ce nombre est
aussi pair. Il suffit d’examiner les deux seuls cas possibles :
• Si un entier x est pair, il peut s’écrire x = 2n, et son carré x2 est pair
[car x2 = 4n2 = 2×2n2].
• Si cet entier est impair, il peut s’écrire x = 2n + 1, et son carré est aussi
impair [car x2 = 4n2 + 4n + 1 = 2(2n2 + 2n) + 1].

En conclusion un carré pair ne peut provenir que d’un nombre pair.
On a vu que c2 est un nombre pair, donc c est aussi un nombre pair.
On a donc montré que soit a, soit b, soit c est un entier pair.